euklid, axiome, elemente

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Hier sind die 5 Axiome (Pos­tu­late) und 5 gemein­samen Begriffe von Euk­lid:

5 Postulate (Axiome):

1. Eine Lin­ie kann zwis­chen zwei beliebi­gen Punk­ten gezo­gen wer­den.
2. Eine Lin­ie kann beliebig ver­längert wer­den.
3. Ein Kreis kann mit jedem beliebi­gen Mit­telpunkt und Radius geze­ich­net wer­den.
4. Alle recht­en Winkel sind gle­ich.
5. Wenn eine Lin­ie zwei andere Lin­ien so schnei­det, dass die inneren Winkel auf ein­er Seite weniger als 180° betra­gen, wer­den die bei­den Lin­ien auf dieser Seite zusam­men­laufen.

5 Gemeinsame Begriffe (Notionen):

1. Dinge, die dem Gle­ichen gle­ich sind, sind einan­der gle­ich.
2. Wenn Gle­iche zu Gle­ichem hinzuge­fügt wer­den, sind die Sum­men gle­ich.
3. Wenn Gle­iche von Gle­ichem abge­zo­gen wer­den, sind die Reste gle­ich.
4. Dinge, die miteinan­der zur Deck­ung gebracht wer­den kön­nen, sind gle­ich.
5. Das Ganze ist größer als der Teil.

Hier sind die 23 Def­i­n­i­tio­nen aus dem ersten Buch von Euk­lids “Ele­mente”:

1. Ein Punkt ist das, was keine Teile hat.
2. Eine Lin­ie ist Länge ohne Bre­ite.
3. Die Enden ein­er Lin­ie sind Punk­te.
4. Eine ger­ade Lin­ie liegt gle­ich­mäßig zwis­chen ihren Punk­ten.
5. Eine Fläche hat nur Länge und Bre­ite.
6. Die Kan­ten ein­er Fläche sind Lin­ien.
7. Eine ebene Fläche liegt gle­ich­mäßig zwis­chen ihren Lin­ien.
8. Ein ebenes Winkel­paar entste­ht, wenn zwei Lin­ien sich schnei­den.
9. Ein rechter Winkel entste­ht, wenn die bei­den Lin­ien senkrecht aufeinan­der ste­hen.
10. Ein stumpfer Winkel ist größer als ein rechter Winkel.
11. Ein spitzer Winkel ist klein­er als ein rechter Winkel.
12. Eine Gren­ze ist das, was das Ende von etwas markiert.
13. Eine Fig­ur ist das, was durch eine oder mehrere Gren­zen eingeschlossen wird.
14. Ein Kreis ist eine Fig­ur, die durch eine Lin­ie (den Kreisum­fang) begren­zt ist, wobei alle Punk­te auf dieser Lin­ie den gle­ichen Abstand zu einem inneren Punkt (dem Mit­telpunkt) haben.
15. Der Mit­telpunkt eines Kreis­es ist der Punkt, von dem alle Punk­te des Kreis­es den gle­ichen Abstand haben.
16. Ein Durchmess­er eines Kreis­es ist eine ger­ade Lin­ie durch den Mit­telpunkt, die den Kreis in zwei gle­iche Teile teilt.
17. Ein Hal­bkreis ist die Fig­ur, die von einem Durchmess­er und dem Bogen des Kreis­es, der durch die Enden des Durchmessers ver­läuft, begren­zt wird.
18. Ein viereck­iges Rechteck ist eine Fig­ur, die von vier recht­en Winkeln eingeschlossen wird.
19. Eine rechteck­ige Fläche hat vier ger­ade Seit­en und alle Winkel sind rechte Winkel.
20. Ein Trapez ist eine Fläche, die von vier Seit­en begren­zt wird, von denen zwei par­al­lel sind.
21. Ein Dreieck ist eine Fläche, die von drei Seit­en begren­zt wird.
22. Ein gle­ich­seit­iges Dreieck hat drei gle­ich lange Seit­en.
23. Ein ungle­ich­seit­iges Dreieck hat drei Seit­en, die alle ver­schieden lang sind.

Diese Def­i­n­i­tio­nen bilden die Grund­lage für die euk­lidis­che Geome­trie.